Monte Carlo-simulering
Monte Carlo är en metod för att approximera värdet på olika saker genom simulering. Exempelvis kan man approximera talet π på olika sätt. Här finns två exempel på metoder:
Grundläggande mål för höstterminen:
- Skriv kod i valfritt programmeringsspråk (t.ex. python eller geogebra) som gör Monte Carlo-beräkningar av π på olika sätt. Parallellt med detta lär du dig den programmering du behöver.
- Gör en experimentell jämförelse av hur snabbt uppskattningen konvergerar mot rätt värde.
- Visualisera resultaten med någon form av diagram.
- Skriv ner en kort diskussion av resultaten du har så här långt.
Mer ambitiösa mål för vårterminen (om det finns tid):
- Läs på om Monte Carlo-metoden (t.ex. på Wikipedia eller i någon lärobok för högskolan), och skriv lite om teorin och bakgrunden.
- Se om du kan förbättra din diskussion från det grundläggande mål med din nyvunna teoretiska kunskap.
- Finns det andra sätt än Monte Carlo-simuleringar för att approximera π med en dator? Kan du göra något experiment där du jämför för-/nackdelar med de olika metoderna?
Hur man löser problem?
Att lösa problem är något av det mest grundläggande man gör i matematik, men hur går det egentligen till? Matematikern George Pólya skrev redan 1945 boken How to Solve It? där han beskriver fyra faser i problemlösning:
- förstå problemet
- hitta på en plan
- genomför planen
- kontrollera resultatet.
Den här teorin för problemlösning har sedan dess blivit väldigt omtyckt bland matematiker och lärare, men hur väl stämmer boken med modern psykologisk forskning om hur människor faktiskt löser matematiska problem?
Grundläggande mål:
- Läs på om Pólyas fyra faser (om du känner dig tillräckligt säker på engelska kan du till och med prova att läsa hans bok – den är hyfsat lättläst!)
- Läs på om ämnet kognitiv psykologi, och vad de etablerade teorierna där säger om problemlösning.
- Diskutera Pólyas beskrivning av problemlösningsprocessen utifrån dessa teorier. Vilka delar stämmer i Pólyas beskrivning? Finns det något som inte stämmer så bra, eller som han missar?
Mer ambitiösa mål:
- Identifiera någon grupp som har mycket erfarenhet av matematisk problemlösning (t.ex. matematiklärare, ingenjörstudenter, folk som har gått i final i Skolornas matematiktävling). Välj ut ett litet antal (3-5 stycken) personer ur den valda gruppen, och intervjua dem om hur de ser på problemlösning. Analysera deras svar utifrån Pólyas beskrivning och de psykologiska teorierna.
Matematiken bakom höjdkurvor
Om du tittar på en fjällkarta eller orienteringskarta så ser du att höjder är utmärkta med hjälp av höjdkurvor. De är ofta baserade på en laserskanning som Lantmäteriet har gjort av hela Sverige. Hur går det egentligen till när man ritar sådana kurvor?
Grundläggande mål:
- Beskriv matematiken för hur man går från laserdata till höjdkurvor.
- Hur gör man för att kurvorna ska ge en så rättvisande bild av verkligheten som möjligt?
- För att ta reda på svaren kan det vara en god idé att intervjua experter på kartritning (t.ex. på Lantmäteriet eller orienterare som jobbar med kartritning).
- Skriv en text där du förklarar det du har kommit fram till på ett så pedagogiskt sätt som möjligt.
Mer ambitiösa mål:
- Identifiera ett område med en intressant höjdformation i din kommun, och ladda ner laserdatan för det området från Lantmäteriet. Försök använda det du har lärt dig för att avbilda området med höjdkurvor på ett så verklighetstroget sätt som möjligt.
- Om du är intresserad av programmering: Skriv ett enkelt datorprogram som omvandlar laserdata till höjdkurvor.
Sport och matematik
Kolla upp boken Mer än en sport: fotbollens matematik av David Sumpter (han har gett flera populärvetenskapliga föredrag, t.ex. detta och det här), där han ger flera exempel på hur matematik kan användas inom fotbollsvärlden. Välj någon av metoderna, och testa att använda den på verklig data (t.ex. någon specifik match eller något specifikt lag). Du kan även prova att använda någon av metoderna på en annan sport än fotboll.
Andra ämnesförslag i matematik
Matematikern Dan Laksov har sammanställt flera bra förslag här.