Differentialekvation är en ekvation som beskriver ett samband mellan en funktion och dess derivator. Några exempel på differentialekvationer är
- \( y’+2y = 0\)
- \( y^{\prime \prime}+4y’+2y = 4x^2\)
- \( y’+y^2 = x+3\)
Den första är en linjär homogen differentialekvation av första ordningen.
Den andra är en linjär inhomogen differentialekvation av andra ordningen.
Den tredje är en icke-linjär inhomogen differentialekvation av första ordningen.
Ordningen av en differentialekvation
Det som bestämmer av vilken ordning en differentialekvation är dess högst förekommande derivata. Till exempel så är \( x^3+4x^2+4 = 0\) en tredjegradsekvation. På samma sätt är \( y^{\prime \prime \prime}+4y^{\prime \prime}+4 = 0\) en differentialekvation av tredje ordningen.
Linjär eller icke-linjär?
En differentialekvation kan vara antingen linjär eller icke-linjär. Om uttrycket för \( y\) och dess derivator alla har exponenten 1, så är differentialekvationen linjär. I andra exemplet ovan,
\( y^{\prime \prime}+4y’+2y = 4x^2,\)
så är den linjär eftersom ingen \( y\)-term har en exponent som är större än 1. Att någon av \( x\)-termerna har en exponent större än 1 har ingen betydelse för linjäriteten för en differentialekvation. Det tredje exemplet ovan
\( y’+y^2 = x+3\)
är inte en linjär differentialekvation på grund av termen \( y^2\).
Homogen eller inhomogen?
Det som avgör om en differentialekvation är homogen eller inte, är alla termer utom de som innehåller \( y\) eller någon av \( y\):s derivator. Om man samlar alla termer som innehåller \( y\) och dess derivator i ett led, och det endra ledet är lika med 0, så är differentialekvationen homogen. Ett exempel på en homogen differentialekvation är
\( y’+2y = 0 \ .\)
Däremot är
\( y’+2y – 1= 0\)
inte en homogen differentialekvation eftersom termen −1 inte innehåller något \( y\) eller någon av \( y\):s derivator. Det blir ännu tydligare om vi skriver
\( y’+2y – 1= 0 \ \Leftrightarrow \ y’+2y = 1 \ .\)
Eftersom vi endast har termer som innehåller innehåller \( y\) och \( y\):s derivator och det andra ledet inte är lika med 0, så är den inhomogen.
Fler exempel på inhomogena differentialekvationer:
\( y’+y^{\prime \prime} = 4x\)
\( y^{\prime} + y^2 = e^x\)
\( y^{\prime} + y^{\prime \prime \prime} = \sin(e^{\cos(x)})\)
Lösningen till en differentialekvation…
…kommer att tas upp i Matematik E. I Matematik D så fokuserar vi främst på att visa att en viss lösning verkligen löser en differentialekvation.
Exempel
Visa att
- \( y = 4 \cdot e^{2x}-2x-2\) är en lösning till \( y’ – 2y = 4x+2 \ .\)
- \( y = e^{-x}\left(\sin\left(\sqrt{3}x\right)+\cos(\sqrt{3}x)\right)\) löser differentialekationen \( y^{\prime \prime} +2y’ + 4y = 0 \ .\)
Lösningar
1. Vi deriverar \( y\), för att sedan sätta in \( y\) och \( y’\) i differentialekvationen för att kunna kontrollera att det är en lösning.
\( y’ = 8e^{2x}-2,\)
som ger
\( \mathrm{VL} = 8e^{2x}-2 – 2(4 \cdot e^{2x}-2x-2) = 8e^{2x}-2-8e^{2x}+4x+4 = 4x+2 = \ \mathrm{HL} \ .\)
Exempel 2 lämnas som övning åt läsaren. Man måste derivera med produktregeln här.