När man vet hur man löser en homogen differentialekvation av första ordningen så är det ett lite större steg till att lösa homogena differentialekvation av andra ordningen. Exempel på sådana differentialekvationer är t.ex.
\( y^{\prime \prime}+4y’-3y = 0 \\ y^{\prime \prime}-2y’+4y = 0 \ .\)
Den allmänna lösningen
Eftersom man kunde härleda den allmänna lösningen till en allmän homogen differentialekvation av första ordningen genom att ansätta \( y = e^{rx}\), så väljer vi att göra denna ansättning när vi ska lösa den allmänna homogena differentialekvationen av andra ordningen
\( y^{\prime\prime} + ay’ + by = 0 \ .\)
Men eftersom vi konstaterade att en konstant före uttrycket \( e^{rx}\) inte gör någon skillnad, så är det lika bra att sätta dit en konstant nu direkt i ansatsen. Så ansatsen vi gör är
\( y = C e^{rx} \\ y’ = r \cdot Ce^{rx} \\ y^{\prime \prime} = r^2 \cdot Ce^{rx} \ .\)
Om vi sätter in detta i differentialekvationen och bryter ut \( Ce^{rx}\) så får vi
\( Ce^{rx}(r^2+ar+b) = 0 \ .\)
Som vi redan vet har ekvationen \( Ce^{rx} = 0\) inga lösningar, detta lämnar kvar ekvationen
\( r^2+ar+b = 0 \ .\)
Detta är den såkallade karaktäristiska ekvationen. Vi ska nu undersöka dess rötter.
Två reella rötter
Om denna karaktäristiska ekvation får två stycken reella rötter så finns det två värden på \( r\) som löser differentialekvationen, säg \( r_1\) och \( r_2\). Det betyder att
\( y_1 = Ae^{r_1x} \\ y_2 = Be^{r_2x} \ ,\)
är två lösningar till differentialekvationen. Men kan man kombinera ihop dessa på något sätt så det blir en och samma lösning? Vad händer med \( y_1 + y_2\) t.ex? Vi prövar och ser om det löser ekvationen.
\( (r_1^2Ae^{r_1x}+r_2^2Be^{r_2x}) + \\ a\left(r_1Ae^{r_1x}+r_2Be^{r_2x}\right)+b\left(Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\right) = \\ = Ae^{r_1x}(r_1^2+ar_1+b)+Be^{r_2x}(r_2^2+ar_2+b) = 0 \ .\)
Eftersom både \( r_1\) och \( r_2\) är rötter till ekvationen så blir båda termerna lika med 0 och differentialekvationen är löst. Så med andra ord så är
\( y = y_1+y_2 = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}\)
En lösning till differentialekvationen om den karaktäristiska har de reella rötterna \( r_1\) och \( r_2\).
En dubbelrot
Om den karaktäristiska ekvationen har en dubbelrot så är \( r_1 = r_2 = r_d\), vilket gör att vårat trick med termerna inte fungerar längre, eftersom man kan bara bryta ut \( e^{r_dx}\) och då få en ny konstant istället för två ”olika” termer.
\( A e^{r_dx} + Be^{r_dx} = \underbrace{(A+B)}_{= \mathrm{ny\,konstant}}e^{r_dx}\)
Ett trick man använder då är att multiplicera ena termen med \( x\). Varför gör man det? Jo, för att det fungerar! Det vill säga, om den karaktäristiska ekvationen har en dubbelrot så är lösningen
\( y = x \cdot Ae^{r_dx} + Be^{r_dx} = e^{r_dx}(Ax+B) \ .\)
Att kontrollera att detta verkligen löser differentialekvationen lämnas som övning till läsaren.
Två icke-reella rötter
Om man får två komplexa rötter som \( r_{1,2} = \alpha \pm \beta i\), så går vi tillbaka till lösningen när det var två reella rötter, fast sätter in de komplexa rötterna istället, för att få
\( y = Ae^{(\alpha + \beta i)x} + Be^{(\alpha-\beta i)x} = e^{\alpha x}\left(Ae^{\beta i x} + Be^{-\beta i x}\right) \ .\)
Enligt Eulers formel,
\( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \ ,\)
kan man då skriva
\( e^{\alpha x}\left(Ae^{\beta i x} + Be^{-\beta i x}\right) = e^{\alpha x}\left[A\left(\cos\left(\beta x\right) + i\sin\left(\beta x\right)\right) + B\left(\cos\left(-\beta x\right)+i\sin\left(-\beta x\right)\right)\right] \ .\)
Genom att nu använda identiteterna
\( \cos(-x) = \cos(x) \\ \sin(-x) = -\sin(x) \,\)
så fås
\( e^{\alpha x}\left[A\left(\cos\left(\beta x\right) + i\sin\left(\beta x\right)\right) + B\left(\cos\left(-\beta x\right)+i\sin\left(-\beta x\right)\right)\right] = \\ = e^{\alpha x}\left[ A\cos(\beta x) +Ai\sin\left(\beta x\right) + B \cos(\beta x) – B i \sin\left(\beta x\right) \right] = \\ = e^{\alpha x}\left[(A+B)\cos(\beta x) + i(A-B)\sin\left(\beta x\right)\right]\ .\)
Det vi nu gör är att ersätta \( A+B\) och \( i(A-B)\) med två nya komplexa tal \( A\) och \( B\) (för enkelhetens skull), så den allmänna lösningen då \( r\) har icke-reella rötter är
\( y = e^{\alpha x}\left(A\cos\left(\beta x\right) + B \sin\left(\beta x\right)\right) \ .\)
Sammanfattning
Den allmänna lösningen till differentialekvationen
\( \boxed{y^{\prime \prime} + ay’ + by = 0} \ ,\)
då den karaktäristiska ekvationen
\( \boxed {r^2+ar+b = 0} \ ,\)
har två reella rötter är
\( \boxed {y = Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}} \ .\)
När den har en dubbelrot är den
\( \boxed {y = e^{r_dx}\left(Ax+B\right)} \ .\)
När den har två icke-reella rötter är den
\( \boxed {y = e^{\alpha x}\left(A\cos\left(\beta x\right) + B\sin\left(\beta x\right)\right)} \ ,\)
där \( r = \alpha \pm \beta x \ .\)