Denna artikel tar upp deriveringsreglerna för de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens.
\(\boxed{ f(x) = \sin(x) \quad \quad f'(x) = \cos(x) \\ f(x) = \cos(x) \quad \quad f'(x) = -\sin(x) \\ f(x) = \tan(x) \quad \quad f'(x) = 1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}}\)
Förutsatt att \( x\) är i radianer.
De trigonometriska derivatorna och kedjeregeln
De trigonometriska derivatorna är väldigt tydliga yttre funktioner, så det brukar vara enkelt att se när kedjeregeln kan tillämpas på de trigonometriska derivatorna. Ett exempel är
\( y = \sin(x^2+1),\)
där man väldigt tydligt ser att \( \sin(u)\) är den yttre funktionen och \( u = x^2+1\) är den inre funktionen. I dessa fall måste man använda kedjeregeln för att derivera funktionen.
Vinkelmått
När man jobbar med de trigonometriska derivatorna så förutsätter man alltid att vinkeln \( x\) är i radianer eftersom annars gäller inte
\( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \ .\)
Om vi istället skulle försöka beräkna de gränsvärden som uppkommer när man jobbar med derivatans definition om x var i mätt i grader skulle man få en ful konstant före \( \cos(x)\), som man inte vill ha. Så man använder radianer för att det blir lättare så.
Övningar och lösningar
Derivera
Bevis av de trigonometriska derivatorna
Beräkning av de gränsvärden som bevisen bygger på är s.k. standardgränsvärden och bevisas ej i detta bevis, utan förutsätter att de gäller. Bevis av dem kan komma i framtida artiklar.
Sats
\( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)\)
där \( x\) är mätt i radianer.
Bevis
Tillämpning av derivatans definition ger
\( \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} = / \mathrm{Utveckling med additionssatsen f\ddot{o}r sinus} / = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x)\cos(h)- \sin(x)}{h} + \cos(x) \cdot \underbrace{\frac{\sin(h)}{h}}_{\mathrm{Standardgr\ddot{a}nsv\ddot{a}rde}} = \\ = \lim_{h\to 0}\sin(x) \cdot \underbrace{\frac{\cos(h)-1}{h}}_{\mathrm{Standardgr\ddot{a}nsv\ddot{a}rde}} + \cos(x) \cdot \frac{\sin(h)}{h} = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x) \ .\)
V.S.B.
Sats
\( \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\)
där \( x\) är mätt i radianer.
Bevis
Tillämpning av derivatans definition ger
\( \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} = / \mathrm{Utveckling med additionssatsen f\ddot{o}r cosinus} / = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h} = \\ = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)- \cos(x)}{h} – \sin(x) \cdot \underbrace{\frac{\sin(h)}{h}}_{\mathrm{Standardgr\ddot{a}nsv\ddot{a}rde}} = \\ = \lim_{h\to 0}\cos(x) \cdot \underbrace{\frac{\cos(h)-1}{h}}_{\mathrm{Standardgr\ddot{a}nsv\ddot{a}rde}} – \cos(x) \cdot \frac{\sin(h)}{h} = \cos(x) \cdot 0 – \sin(x) \cdot 1 = -\sin(x) \ .\)
V.S.B.
Bevis av deriveringsregeln för tangens lämnas som övning i artikeln om produkt- och kvotregeln.