\( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 = (b+a)^2 \\ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 = (b-a)^2\)
Man bör lära sig reglerna utantill, det kommer att underlätta vidare studier i matematik. Bland annat behöver man kunna reglerna i vissa fall av division då polynom ingår samt för att utföra kvadratkomplettering.
Första kvadreringsregeln
\( (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2+2ab+b^2\)
Då alla tal är positiva är det lätt att förstå att \( (a+b)^2 = (a+b)^2\)
Geometriskt kan man tolka regeln:
Arean som \( (a+b)^2\) uttrycker är summan av samtliga rektanglar och kvadrater ovan.
\(\underbrace{(a+b)^2}_{\mathrm{Hela\,kvadraten}} = \overbrace{a^2}^{\mathrm{Bl\unicode{0x00E5}}} + \underbrace{2ab}_{\mathrm{Tv\unicode{0x00E5}\,rosa}} + \overbrace{b^2}^{\mathrm{R\ddot{o}d}}\)
Andra kvadreringsregeln
\( (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2-ab-ab+(-b \cdot -b) = a^2-2ab+b^2,\)
eftersom \( -b \cdot -b = b^2\)
Även här så gäller det att \( (a-b)^2 = (b-a)^2\). Jag lämnar det som en övning till läsaren att visa.
Geometriskt kan man tolka regeln på följande sätt:
Arean som \( (a-b)^2\) uttrycker är den orangea kvadraten.
Bilden nedan visar hur uttrycket \( a^2-2ab+b^2\) kan föreställas geometriskt. Vi subtraherar \( 2ab\) från summan av \( a^2\) och \( b^2\)
Exempel, övningar och lösningar
Utveckla
a) \( (y-2)^2\)
b) \( (6x+4)^2\)
c) \( (8u+2z)^2\)
d) \( (3-b)^2\)
e) \( (10x-4y)^2\)
f) \( (5z+3y)^2\)
Vi går igenom alla steg i de två första exemplen:
a) \( (y-2)^2 = y^2-2\cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2-4y+4\)
b) \( (6x+4)^2 = (6x)^2 + 2 \cdot 6x \cdot 4 + 4^2 = 36x^2+48x+16\)
De resterande fyra lämnas som övningar med gömda svar.
Utveckla